Combinatoria

Permutaciones

P_n = n!

Ejemplo:

¿De cuántas formas pueden sentarse 5 personas en un banco?

P_5 = 5! = 120

formas.

Se utilizan todos los elementos del conjunto y el orden importa. No hay repetición.

Permutaciones con repetición

PR_n^{a,b,c} = \frac{n!}{a! \cdot b! \cdot c!}

Ejemplo:

¿Cuántas palabras distintas se pueden formar con las letras de la palabra COCO?

PR_4^{2,2} = \frac{4!}{2! \cdot 2!} = 6

palabras.

Se utilizan todos los elementos donde algunos están repetidos. El orden importa.

Variaciones

V_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}

Ejemplo:

¿Cuántos números de 3 cifras distintas se pueden formar con los dígitos 1, 2, 3, 4, 5?

V_5^3 = \frac{5!}{2!} = 60

números.

Se elige un subconjunto de

k

elementos de un total de

n

. El orden importa y no hay repetición.

Variaciones con repetición

VR_n^k = n^k

Ejemplo:

¿Cuántos resultados posibles hay al lanzar una moneda 3 veces?

VR_2^3 = 2^3 = 8

resultados.

Se elige un subconjunto de

k

elementos pudiendo repetirse. El orden importa.

Combinaciones

C_n^k = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}

Ejemplo:

En un grupo de 10 personas, ¿cuántos comités de 3 personas se pueden formar?

C_{10}^3 = \frac{10!}{3!7!} = 120

comités.

Se elige un subconjunto de

k

elementos. El orden NO importa y no hay repetición.

Combinaciones con repetición

CR_n^k = \binom{n+k-1}{k}

Ejemplo:

En una pastelería hay 4 tipos de pasteles. ¿De cuántas formas se pueden elegir 6 pasteles?

CR_4^6 = \binom{4+6-1}{6} = \binom{9}{6} = 84

formas.

Se elige un subconjunto de

k

elementos pudiendo repetirse. El orden NO importa.

Combinatoria: ¿Cuál utilizar?

¿Importa el orden?

Es la primera pregunta. Si el orden de los elementos cambia el resultado (como en una contraseña), es Variación o Permutación. Si el orden NO importa (como elegir un grupo de amigos), es siempre una Combinación.

¿Se usan todos los elementos?

Si importa el orden y usamos TODOS los elementos disponibles, es una Permutación. Si solo elegimos una parte del total, es una Variación.

¿Se pueden repetir?

Una vez decidido el tipo (V, P o C), comprueba si el problema permite usar el mismo elemento varias veces. Si es así, utilizaremos la versión 'con repetición' de la fórmula.

Fundamentos de Probabilidad

Experimento aleatorio

Ejemplo:

Lanzar una moneda, tirar un dado o extraer una carta de una baraja.

Aquel cuyo resultado no se puede predecir con exactitud antes de realizarlo, incluso si se repite bajo las mismas condiciones.

Espacio muestral ( $E$ )

Ejemplo:

En el lanzamiento de una moneda, el espacio muestral es

E = \{\text{cara, cruz}\}

.

Conjunto formado por todos los resultados posibles de un experimento aleatorio.

Sucesos elementales

Ejemplo:

Obtener un '5' al lanzar un dado de seis caras.

Cada uno de los resultados simples e individuales que pueden ocurrir en un experimento aleatorio (componentes del espacio muestral).

Sucesos compuestos

Ejemplo:

Obtener un número impar al lanzar un dado:

A = \{1, 3, 5\}

.

Cualquier suceso que se puede descomponer en otros más simples; es decir, subconjuntos del espacio muestral formados por dos o más sucesos elementales.

Suceso seguro

Ejemplo:

Obtener un número del 1 al 6 al lanzar un dado de seis caras.

Aquel que siempre ocurre porque está formado por todos los resultados posibles del espacio muestral. Coincide con

E

.

Suceso imposible

Ejemplo:

Obtener un '7' al lanzar un dado de seis caras.

Aquel que nunca puede ocurrir. Se representa con el símbolo del conjunto vacío

\emptyset

.

Operaciones con Sucesos

Unión ( $A \cup B$ )

Ejemplo:

Al lanzar un dado, si

A = \{2, 4, 6\}

(pares) y

B = \{1, 2, 3\}

(menores que 4), entonces

A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 6\}

.

El suceso que ocurre cuando ocurre

A

, ocurre

B

o ambos a la vez. Es el conjunto de elementos que pertenecen a

A

, a

B

o a ambos.

Intersección ( $A \cap B$ )

Ejemplo:

Si

A = \{2, 4, 6\}

y

B = \{1, 2, 3\}

, entonces

A \cap B = \{2\}

.

El suceso que ocurre cuando ocurren simultáneamente

A

y

B

. Es el conjunto de elementos comunes a

A

y

B

.

Sucesos compatibles e incompatibles

Ejemplo:

Al lanzar un dado:
• Incompatibles: 'Sacar un 1' y 'Sacar un 6' (imposible ambos a la vez).
• Compatibles: 'Sacar par' (2, 4, 6) y 'Sacar mayor que 3' (4, 5, 6). Si sale un 4 o un 6, ocurren los dos.

Indican si dos sucesos pueden ocurrir al mismo tiempo o no:

Incompatibles: No tienen ningún resultado en común. Si ocurre uno, no puede ocurrir el otro ( $A \cap B = \emptyset$ ).
Compatibles: Tienen al menos un resultado en común. Pueden ocurrir simultáneamente ( $A \cap B \neq \emptyset$ ).

Suceso contrario o complementario ( $\bar{A}$ )

Ejemplo:

Si

A = \{\text{sacar un 6}\}

al lanzar un dado, su contrario es

\bar{A} = \{1, 2, 3, 4, 5\}

.

Aquel que ocurre siempre que no ocurre

A

. Está formado por todos los elementos del espacio muestral que no están en

A

.

Diferencia de sucesos ( $A - B$ )

Ejemplo:

Si

A = \{1, 2, 3, 4\}

y

B = \{3, 4, 5, 6\}

, la diferencia

A - B = \{1, 2\}

.

El suceso que ocurre cuando ocurre

A

pero no ocurre

B

. Equivale a

A \cap \bar{B}

.

Leyes de De Morgan

Ejemplo:

El contrario de 'sacar un 1 o un 2' es 'no sacar un 1 Y no sacar un 2'.

Relacionan el contrario de la unión y la intersección:
1.

\overline{A \cup B} = \bar{A} \cap \bar{B}

(El contrario de la unión es la intersección de los contrarios).
2.

\overline{A \cap B} = \bar{A} \cup \bar{B}

(El contrario de la intersección es la unión de los contrarios).

Propiedades y Cálculo de Probabilidades

Definición de probabilidad

Ejemplo:

La probabilidad de que salga cara al lanzar una moneda es 0.5 (o 50%).

La probabilidad es una medida cuantitativa, expresada como un número entre 0 y 1, que indica la mayor o menor posibilidad de que un suceso ocurra. Un valor de 0 indica que el suceso es imposible (

P(\emptyset)=0

) y un valor de 1 indica que el suceso es seguro (

P(E)=1

).

Ley de los Grandes Números

Ejemplo:

Si lanzamos una moneda 1000 veces, la proporción de caras será muy próxima a 0.5.

Señala que al repetir un experimento muchas veces, la frecuencia relativa de un suceso tiende a estabilizarse en torno a su probabilidad teórica.

Regla de Laplace

P(A) = \frac{\text{Casos favorables}}{\text{Casos posibles}}

Ejemplo:

Probabilidad de sacar un 5 en un dado:

P(5) = \frac{1}{6}

.

Se aplica cuando todos los sucesos elementales son equiprobables (tienen la misma probabilidad).

Probabilidad del suceso contrario

P(\bar{A}) = 1 - P(A)

Ejemplo:

Si la probabilidad de lluvia es 0.3, la de que no llueva es

1 - 0.3 = 0.7

.

La probabilidad de que no ocurra un suceso es 1 menos la probabilidad de que ocurra.

Unión de sucesos compatibles

P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)

Ejemplo:

Si

P(A)=0.6

,

P(B)=0.4

y

P(A \cap B)=0.2

, entonces

P(A \cup B) = 0.6 + 0.4 - 0.2 = 0.8

.

Para calcular la probabilidad de que ocurra A o B, sumamos sus probabilidades y restamos la de su intersección (para no contarla dos veces).

Unión de sucesos incompatibles

P(A \cup B) = P(A) + P(B)

Ejemplo:

Al lanzar un dado,

P(\text{sacar 1 o 2}) = P(1) + P(2) = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}

.

Si los sucesos son incompatibles (

A \cap B = \emptyset

), su intersección es 0.

Probabilidad de $A$ y no $B$ ( $A \cap \bar{B}$ )

P(A \cap \bar{B}) = P(A) - P(A \cap B)

Ejemplo:

Si

P(A)=0.5

y la parte compartida es

P(A \cap B)=0.1

, entonces la probabilidad de que ocurra solo A es

0.5 - 0.1 = 0.4

.

La probabilidad de que ocurra A y NO ocurra B es igual a la probabilidad de A quitándole su parte compartida con B.

Probabilidad Condicionada e Independencia

Probabilidad Condicionada

P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}

Ejemplo:

En una urna con 3 bolas rojas y 2 azules, la probabilidad de que la segunda sea roja sabiendo que la primera fue azul (sin devolución) es

P(R_2|A_1) = \frac{3}{4}

.

Es la probabilidad de que ocurra el suceso

A

sabiendo que ya ha ocurrido el suceso

B

.

Sucesos Independientes

P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)

Ejemplo:

Lanzar un dado y una moneda: sacar un 6 no influye en si sale cara o cruz.

Dos sucesos son independientes si la ocurrencia de uno no afecta a la probabilidad del otro. En este caso,

P(A|B) = P(A)

.

Sucesos Dependientes

P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A)

Ejemplo:

Extraer dos cartas de una baraja sin devolver la primera a la mazo.

Dos sucesos son dependientes si la probabilidad de que ocurra uno se ve alterada por la ocurrencia del otro.

Producto de Probabilidades

Ejemplo:

Si son independientes:

P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)

. Si son dependientes:

P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A)

.

Permite calcular la probabilidad de la intersección (

A \cap B

) dependiendo de si son dependientes o independientes.

Experimentos Compuestos

Ejemplo:

Imagina que tienes dos cajas:
• Caja 1: Tiene 8 bolas rojas y 2 azules (

P(R)=0.8

).
• Caja 2: Tiene 4 bolas rojas y 6 azules (

P(R)=0.4

).
Primero eliges una caja al azar (50% cada una) y luego sacas una bola.

Son procesos que ocurren en varias etapas (ej. elegir una caja y luego sacar una bola). La mejor forma de resolverlos es dibujando un Diagrama de Árbol.

Diagrama de Decisión (Árbol)

Es el esquema visual para entender todos los pasos del ejemplo anterior:

INICIO ├── Caja 1 (0.5) ─── 🔴 Roja (0.8) │ └── 🔵 Azul (0.2) └── Caja 2 (0.5) ─── 🔴 Roja (0.4) └── 🔵 Azul (0.6)

Regla: Para hallar la probabilidad de un camino, multiplica sus ramas (

0.5 \cdot 0.8

).

Teorema de la Probabilidad Total

P(B) = P(A_1) \cdot P(B|A_1) + P(A_2) \cdot P(B|A_2)

Ejemplo:

¿Probabilidad de que la bola sea Roja?
Camino 1:

0.5 \cdot 0.8 = 0.4

Camino 2:

0.5 \cdot 0.4 = 0.2

Total: $0.4 + 0.2 = 0.6$ (60%)

Sirve para calcular la probabilidad final de un suceso (ej. sacar Roja) sumando todos los caminos que llegan a él.

Teorema de Bayes

P(A_i|B) = \frac{P(A_i) \cdot P(B|A_i)}{P(B)}

Ejemplo:

Si sabemos que la bola es Roja, ¿probabilidad de que sea de la Caja 1?

\frac{\text{Prob. de ese camino}}{\text{Prob. Total}} = \frac{0.5 \cdot 0.8}{0.6} = \frac{0.4}{0.6} = 0.67

(67%)

Se usa cuando ya sabemos el resultado final (ej. la bola es Roja) y queremos saber cuál fue la probabilidad de que viniera de una causa concreta (ej. la Caja 1). Es el camino inverso.

Combinatoria

Permutaciones

Permutaciones con repetición

Variaciones

Variaciones con repetición

Combinaciones

Combinaciones con repetición

Combinatoria: ¿Cuál utilizar?

¿Importa el orden?

¿Se usan todos los elementos?

¿Se pueden repetir?

Fundamentos de Probabilidad

Experimento aleatorio

Espacio muestral (EEE)

Sucesos elementales

Sucesos compuestos

Suceso seguro

Suceso imposible

Operaciones con Sucesos

Unión (A∪BA \cup BA∪B)

Intersección (A∩BA \cap BA∩B)

Sucesos compatibles e incompatibles

Suceso contrario o complementario (Aˉ\bar{A}Aˉ)

Diferencia de sucesos (A−BA - BA−B)

Leyes de De Morgan

Propiedades y Cálculo de Probabilidades

Definición de probabilidad

Ley de los Grandes Números

Regla de Laplace

Probabilidad del suceso contrario

Unión de sucesos compatibles

Unión de sucesos incompatibles

Probabilidad de AAA y no BBB (A∩BˉA \cap \bar{B}A∩Bˉ)

Probabilidad Condicionada e Independencia

Probabilidad Condicionada

Sucesos Independientes

Sucesos Dependientes

Producto de Probabilidades

Experimentos Compuestos

Experimentos Compuestos

Diagrama de Decisión (Árbol)

Teorema de la Probabilidad Total

Teorema de Bayes

Espacio muestral ( $E$ )

Unión ( $A \cup B$ )

Intersección ( $A \cap B$ )

Suceso contrario o complementario ( $\bar{A}$ )

Diferencia de sucesos ( $A - B$ )

Probabilidad de $A$ y no $B$ ( $A \cap \bar{B}$ )