RAZONES, PROPORCIONALIDAD Y PORCENTAJES

Razón y Proporción

Razón

Fórmula:
ab\frac{a}{b}

Ejemplo:

La razón entre 10 y 5 es 105=2\frac{10}{5} = 2.
Una razón es el cociente entre dos números o cantidades comparables.

Proporción

Fórmula:
ab=cd\frac{a}{b} = \frac{c}{d}

Ejemplo:

23=46\frac{2}{3} = \frac{4}{6}
Una proporción es la igualdad entre dos razones. Se lee 'aa es a bb como cc es a dd'.

Propiedad fundamental

Fórmula:
a⋅d=b⋅ca \cdot d = b \cdot c

Ejemplo:

En 23=46\frac{2}{3} = \frac{4}{6} se cumple 2⋅6=122 \cdot 6 = 12 y 3⋅4=123 \cdot 4 = 12.
En toda proporción, el producto de los extremos (aa y dd) es igual al producto de los medios (bb y cc).

Cálculo del término desconocido

Fórmula:
x=b⋅cax = \frac{b \cdot c}{a}

Ejemplo:

Hallar x en 25=4x⇒x=5⋅42=10\text{Hallar } x \text{ en } \frac{2}{5} = \frac{4}{x} \Rightarrow x = \frac{5 \cdot 4}{2} = 10
Si desconocemos uno de los términos de una proporción, podemos hallarlo usando la propiedad fundamental.

Tipos de Proporcionalidad

Directamente Proporcionales

Fórmula:
yx=k\frac{y}{x} = k

Ejemplo:

Si 1 kg de manzanas cuesta 2€, 2 kg costarán 4€.
El cociente entre los valores correspondientes es constante: yx=k\frac{y}{x} = k (constante de proporcionalidad).

Inversamente Proporcionales

Fórmula:
x⋅y=kx \cdot y = k

Ejemplo:

Si 2 obreros tardan 6 horas, 4 obreros tardarán 3 horas.
El producto de los valores correspondientes es constante: x⋅y=kx \cdot y = k (constante de proporcionalidad).

Regla de Tres

Regla de Tres Directa

Fórmula:
x=b⋅cax = \frac{b \cdot c}{a}

Ejemplo:

ABabcx⇒x=b⋅ca\begin{matrix} A & B \\ a & b \\ c & x \end{matrix} \Rightarrow x = \frac{b \cdot c}{a}
Se aplica cuando la relación entre las magnitudes es directa. Se multiplica en cruz.

Regla de Tres Inversa

Fórmula:
x=a⋅bcx = \frac{a \cdot b}{c}

Ejemplo:

ABabcx⇒x=a⋅bc\begin{matrix} A & B \\ a & b \\ c & x \end{matrix} \Rightarrow x = \frac{a \cdot b}{c}
Se aplica cuando la relación entre las magnitudes es inversa. Se multiplica en línea.

Repartos Proporcionales

Reparto Directamente Proporcional

Fórmula:
x=C⋅aS,y=C⋅bS,z=C⋅cSx = \frac{C \cdot a}{S}, y = \frac{C \cdot b}{S}, z = \frac{C \cdot c}{S}

Ejemplo:

Repartir 300 entre 2 y 4: S=6⇒x=300⋅26=100,y=300⋅46=200S=6 \Rightarrow x = \frac{300 \cdot 2}{6} = 100, y = \frac{300 \cdot 4}{6} = 200
Se reparte la cantidad total CC proporcionalmente a las partes a,b,c...a, b, c... siendo SS la suma de las partes.

Reparto Inversamente Proporcional

Fórmula:
x=C⋅1aS′,y=C⋅1bS′x = \frac{C \cdot \frac{1}{a}}{S'}, y = \frac{C \cdot \frac{1}{b}}{S'}

Ejemplo:

Repartir 300 inv. prop. a 2 y 4: Inversos 12,14\frac{1}{2}, \frac{1}{4}. S′=34⇒x=300⋅1/23/4=200S' = \frac{3}{4} \Rightarrow x = \frac{300 \cdot 1/2}{3/4} = 200
Se hace un reparto directamente proporcional a los inversos de las partes (1/a,1/b,...1/a, 1/b, ...). S′S' es la suma de los inversos.

Porcentajes

Concepto

Fórmula:
a%=a100a\% = \frac{a}{100}

Ejemplo:

15%=15100=0,1515\% = \frac{15}{100} = 0,15
Un porcentaje es una fracción con denominador 100. Representa una parte de un total de 100 unidades.

Porcentaje de una cantidad

Fórmula:
a% de C=C⋅a100a\% \text{ de } C = C \cdot \frac{a}{100}

Ejemplo:

20% de 50=50⋅0,20=1020\% \text{ de } 50 = 50 \cdot 0,20 = 10
Para calcular el porcentaje de una cantidad, multiplicamos dicha cantidad por el tanto por ciento expresado como decimal.

Aumentos porcentuales

Fórmula:
Cfinal=Cinicial⋅(1+r100)C_{final} = C_{inicial} \cdot (1 + \frac{r}{100})

Ejemplo:

Aumentar 40€ un 10%: 40⋅1,10=4440 \cdot 1,10 = 44€
Para aumentar una cantidad un r%r\%, multiplicamos por el índice de variación IV=1+r100IV = 1 + \frac{r}{100}.

Disminuciones porcentuales

Fórmula:
Cfinal=Cinicial⋅(1−r100)C_{final} = C_{inicial} \cdot (1 - \frac{r}{100})

Ejemplo:

Rebajar 40€ un 10%: 40⋅0,90=3640 \cdot 0,90 = 36€
Para disminuir una cantidad un r%r\%, multiplicamos por el índice de variación IV=1−r100IV = 1 - \frac{r}{100}.