DERIVADAS

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Concepto de derivada

Definición de derivada

Ejemplo:

Para f(x)=x2f(x) = x^2 en x=3x=3: f′(3)=lim⁡h→0(3+h)2−32h=lim⁡h→06h+h2h=lim⁡h→0(6+h)=6f'(3) = \lim_{h \to 0} \dfrac{(3+h)^2 - 3^2}{h} = \lim_{h \to 0} \dfrac{6h+h^2}{h} = \lim_{h \to 0} (6+h) = 6.
La derivada de una función f(x)f(x) en un punto x=ax=a, denotada f′(a)f'(a), mide la tasa de variación instantánea de la función en ese punto, es decir, la pendiente de la recta tangente a la curva en x=ax=a. Se define como el límite: f′(a)=lim⁡h→0f(a+h)−f(a)hf'(a) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(a+h) - f(a)}{h}.

Función derivada

Ejemplo:

La función derivada de f(x)=x2f(x) = x^2 es f′(x)=2xf'(x) = 2x. Así, f′(3)=6f'(3) = 6, f′(0)=0f'(0) = 0 y f′(−1)=−2f'(-1) = -2.
Si calculamos f′(x)f'(x) para un punto genérico xx en lugar de uno fijo aa, obtenemos la función derivada f′(x)f'(x), que asigna a cada punto la pendiente de la tangente en ese punto. También se denota dydx\dfrac{dy}{dx} o y′y'.

Reglas de derivación

Suma y resta

Fórmula:
(f±g)′=f′±g′(f \pm g)' = f' \pm g'

Ejemplo:

Si f(x)=x3+sin⁡xf(x) = x^3 + \sin x, entonces f′(x)=3x2+cos⁡xf'(x) = 3x^2 + \cos x.

Producto por constante

Fórmula:
(k⋅f)′=k⋅f′(k \cdot f)' = k \cdot f'

Ejemplo:

Si f(x)=5x4f(x) = 5x^4, entonces f′(x)=5⋅4x3=20x3f'(x) = 5 \cdot 4x^3 = 20x^3.

Producto de funciones

Fórmula:
(f⋅g)′=f′⋅g+f⋅g′(f \cdot g)' = f' \cdot g + f \cdot g'

Ejemplo:

Si f(x)=x2⋅ln⁡xf(x) = x^2 \cdot \ln x: f′(x)=2x⋅ln⁡x+x2⋅1x=2xln⁡x+xf'(x) = 2x \cdot \ln x + x^2 \cdot \dfrac{1}{x} = 2x\ln x + x.

Cociente de funciones

Fórmula:
(fg)′=f′⋅g−f⋅g′g2\left(\dfrac{f}{g}\right)' = \dfrac{f' \cdot g - f \cdot g'}{g^2}

Ejemplo:

Si f(x)=xx+1f(x) = \dfrac{x}{x+1}: f′(x)=1⋅(x+1)−x⋅1(x+1)2=1(x+1)2f'(x) = \dfrac{1\cdot(x+1) - x\cdot 1}{(x+1)^2} = \dfrac{1}{(x+1)^2}.

Regla de la cadena

Fórmula:
(f∘g)′(x)=f′(g(x))⋅g′(x)(f \circ g)'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x)

Ejemplo:

Si f(x)=sin⁡(x2)f(x) = \sin(x^2), la función de fuera es sin⁡(u)\sin(u) y la de dentro u=x2u=x^2: f′(x)=cos⁡(x2)⋅2xf'(x) = \cos(x^2) \cdot 2x.
Se usa para derivar funciones compuestas: se deriva la función «de fuera» dejando la de dentro igual, y se multiplica por la derivada de la función «de dentro».

Tabla de derivadas

Derivadas de funciones elementales

Ejemplo:

FunciónDerivada
kk (constante)00
xx11
unu^nn⋅un−1⋅u′n \cdot u^{n-1} \cdot u'
u\sqrt{u}u′2u\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}
1u\dfrac{1}{u}−u′u2-\dfrac{u'}{u^2}
eue^ueu⋅u′e^u \cdot u'
aua^uau⋅ln⁡a⋅u′a^u \cdot \ln a \cdot u'
ln⁡u\ln uu′u\dfrac{u'}{u}
log⁡au\log_a uu′u⋅ln⁡a\dfrac{u'}{u \cdot \ln a}
sin⁡u\sin ucos⁡u⋅u′\cos u \cdot u'
cos⁡u\cos u−sin⁡u⋅u′-\sin u \cdot u'
tan⁡u\tan u(1+tan⁡2u)⋅u′(1 + \tan^2 u) \cdot u'
Tabla con las derivadas más habituales, expresadas para una función compuesta u=u(x)u=u(x) (aplicando la regla de la cadena).