DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

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Variables aleatorias discretas

Variable aleatoria discreta

Ejemplo:

Al lanzar dos dados, XX = «suma de los valores obtenidos» puede tomar los valores 2,3,4,…,122, 3, 4, \ldots, 12.
Una variable aleatoria discreta XX es una función que asigna un valor numérico a cada resultado de un experimento aleatorio. Se llama discreta porque solo puede tomar valores aislados (finitos o infinitos numerables), como el número de caras al lanzar monedas o el número de goles en un partido.

Función de probabilidad

Fórmula:
P(X=xi)=pi,donde ∑ipi=1 y pi≥0P(X = x_i) = p_i, \quad \text{donde } \sum_{i} p_i = 1 \text{ y } p_i \geq 0

Ejemplo:

Sea XX = «número de caras al lanzar 2 monedas»:

xix_i012
pip_i14\frac{1}{4}24\frac{2}{4}14\frac{1}{4}

Comprobación: 14+24+14=1\frac{1}{4} + \frac{2}{4} + \frac{1}{4} = 1 ✓
La función de probabilidad (o distribución de probabilidad) asigna a cada valor posible xix_i de la variable su probabilidad pip_i. Se suele representar en una tabla:

Función de distribución

Fórmula:
F(x)=P(X≤x)=∑xi≤xpiF(x) = P(X \leq x) = \sum_{x_i \leq x} p_i

Ejemplo:

Para el ejemplo anterior (2 monedas):

xxx<0x \lt 00≤x<10 \leq x \lt 11≤x<21 \leq x \lt 2x≥2x \geq 2
F(x)F(x)014\frac{1}{4}34\frac{3}{4}1
La función de distribución acumulada F(x)F(x) da la probabilidad de que la variable tome un valor menor o igual que xx. Es una función escalonada que empieza en 0 y termina en 1.

Media (esperanza matemática)

Fórmula:
μ=E(X)=∑ixi⋅pi\mu = E(X) = \sum_{i} x_i \cdot p_i

Ejemplo:

Para XX = número de caras con 2 monedas:
μ=0⋅14+1⋅24+2⋅14=0+24+24=1\mu = 0 \cdot \frac{1}{4} + 1 \cdot \frac{2}{4} + 2 \cdot \frac{1}{4} = 0 + \frac{2}{4} + \frac{2}{4} = 1
En promedio, al lanzar 2 monedas se obtiene 1 cara.
La media o esperanza matemática μ\mu representa el valor promedio que esperamos obtener a largo plazo al repetir el experimento muchas veces. Es el «centro de gravedad» de la distribución.

Desviación típica

Fórmula:
σ2=∑ixi2⋅pi−μ2σ=σ2\sigma^2 = \sum_{i} x_i^2 \cdot p_i - \mu^2 \qquad \sigma = \sqrt{\sigma^2}

Ejemplo:

Para el ejemplo anterior (μ=1\mu = 1):
σ2=02⋅14+12⋅24+22⋅14−12=0+24+44−1=64−1=0.5\sigma^2 = 0^2 \cdot \frac{1}{4} + 1^2 \cdot \frac{2}{4} + 2^2 \cdot \frac{1}{4} - 1^2 = 0 + \frac{2}{4} + \frac{4}{4} - 1 = \frac{6}{4} - 1 = 0.5
σ=0.5≈0.71\sigma = \sqrt{0.5} \approx 0.71
La varianza σ2\sigma^2 mide la dispersión de la variable respecto a su media. La desviación típica σ\sigma es su raíz cuadrada y se expresa en las mismas unidades que la variable.

Distribución binomial

¿Cuándo se aplica?

Ejemplo:

Condiciones que deben cumplirse:
  • El experimento se repite un número fijo nn de veces.
  • Cada repetición es independiente de las demás.
  • Solo hay dos resultados posibles en cada repetición.
  • La probabilidad de éxito pp es constante en todas las repeticiones.
La distribución binomial modela el número de éxitos en nn repeticiones independientes de un experimento con solo dos posibles resultados: éxito (probabilidad pp) y fracaso (probabilidad 1−p1-p). Se escribe X∼B(n,p)X \sim B(n, p).

Función de probabilidad

Fórmula:
P(X=k)=(nk)pk(1−p)n−k,k=0,1,…,nP(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}, \quad k = 0, 1, \ldots, n

Ejemplo:

Se lanza una moneda 5 veces. ¿Probabilidad de obtener exactamente 3 caras? Con X∼B(5,0.5)X \sim B(5, 0.5):
P(X=3)=(53)⋅0.53⋅0.52=10⋅0.125⋅0.25=0.3125P(X=3) = \binom{5}{3} \cdot 0.5^3 \cdot 0.5^2 = 10 \cdot 0.125 \cdot 0.25 = 0.3125
Donde (nk)=n!k!(n−k)!\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} es el número combinatorio que cuenta las formas de elegir kk éxitos entre nn intentos.

Media, varianza y desviación típica

Fórmula:
μ=n⋅pσ2=n⋅p⋅(1−p)σ=n⋅p⋅(1−p)\mu = n \cdot p \qquad \sigma^2 = n \cdot p \cdot (1-p) \qquad \sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}

Ejemplo:

Si X∼B(20,0.3)X \sim B(20, 0.3) (20 preguntas de test, probabilidad de acertar 0.3):
μ=20⋅0.3=6 aciertos esperados\mu = 20 \cdot 0.3 = 6 \text{ aciertos esperados}
σ2=20⋅0.3⋅0.7=4.2\sigma^2 = 20 \cdot 0.3 \cdot 0.7 = 4.2
σ=4.2≈2.05\sigma = \sqrt{4.2} \approx 2.05
Son fórmulas directas que evitan calcular toda la distribución. La media indica el número esperado de éxitos, la varianza mide la dispersión y la desviación típica se expresa en las mismas unidades que la variable.

Distribución normal

La distribución normal

Ejemplo:

Alturas de personas adultas, errores de medición, notas de un examen con muchos alumnos... son fenómenos que suelen seguir una distribución normal.
La distribución normal X∼N(μ,σ)X \sim N(\mu, \sigma) es la distribución continua más importante. Su gráfica tiene forma de campana de Gauss, simétrica respecto a la media μ\mu, con la mayoría de valores concentrados alrededor de ella. El parámetro σ\sigma controla su anchura: mayor σ\sigma implica curva más aplastada y dispersa.

Distribución normal estándar N(0,1)N(0,1)

Fórmula:
Φ(z)=P(Z≤z)\Phi(z) = P(Z \leq z)
La distribución normal estándar Z∼N(0,1)Z \sim N(0,1) es una normal con media μ=0\mu = 0 y desviación típica σ=1\sigma = 1. Para calcular probabilidades en cualquier distribución normal, se utilizan las tablas de la normal estándar, que dan el valor de la función de distribución acumulada:

Φ(z)=P(Z≤z)\Phi(z) = P(Z \leq z)

Es decir, Φ(z)\Phi(z) es el área bajo la curva a la izquierda del valor zz. La tabla siempre da la probabilidad acumulada desde −∞-\infty hasta zz.

Cómo usar la tabla: propiedades clave

Ejemplo:

Ejemplo: Calcular P(Z>1.5)P(Z > 1.5) y P(−1<Z<2)P(-1 < Z < 2):

• P(Z>1.5)=1−Φ(1.5)=1−0.9332=0.0668P(Z > 1.5) = 1 - \Phi(1.5) = 1 - 0.9332 = 0.0668
• P(−1<Z<2)=Φ(2)−Φ(−1)=Φ(2)−(1−Φ(1))P(-1 < Z < 2) = \Phi(2) - \Phi(-1) = \Phi(2) - (1 - \Phi(1))
=0.9772−(1−0.8413)=0.9772−0.1587=0.8185= 0.9772 - (1 - 0.8413) = 0.9772 - 0.1587 = 0.8185
Con la tabla de la normal estándar solo obtenemos P(Z≤z)P(Z \leq z). Para otros casos usamos:
  • Cola derecha: P(Z>z)=1−Φ(z)P(Z > z) = 1 - \Phi(z)
  • Intervalo: P(a<Z<b)=Φ(b)−Φ(a)P(a < Z < b) = \Phi(b) - \Phi(a)
  • Valores negativos: Φ(−z)=1−Φ(z)\Phi(-z) = 1 - \Phi(z) (por simetría)

Tipificación: de N(μ,σ)N(\mu, \sigma) a N(0,1)N(0,1)

Fórmula:
Z=X−μσZ = \frac{X - \mu}{\sigma}

Ejemplo:

Ejemplo completo: Las notas de un examen siguen X∼N(6,1.5)X \sim N(6, 1.5). ¿Qué porcentaje de alumnos sacó más de un 8?

1. Tipificamos: z=8−61.5=21.5≈1.33z = \dfrac{8 - 6}{1.5} = \dfrac{2}{1.5} \approx 1.33
2. Buscamos en la tabla: Φ(1.33)=0.9082\Phi(1.33) = 0.9082
3. Cola derecha: P(X>8)=1−0.9082=0.0918P(X > 8) = 1 - 0.9082 = 0.0918

Aproximadamente el 9.2% de los alumnos sacó más de un 8.
Para calcular probabilidades con una normal cualquiera X∼N(μ,σ)X \sim N(\mu, \sigma), se tipifica (estandariza) la variable restando la media y dividiendo por la desviación típica. Así se obtiene una variable Z∼N(0,1)Z \sim N(0,1) y se puede usar la tabla.

Aproximación de la binomial a la normal

Corrección de continuidad de Yates

Ejemplo:

Probabilidad original (discreta)Aproximación continua (con Yates)
P(X=k)P(X = k)P(k−0.5<X<k+0.5)P(k - 0.5 \lt X \lt k + 0.5)
P(X≤k)P(X \leq k)P(X<k+0.5)P(X \lt k + 0.5)
P(X≥k)P(X \geq k)P(X>k−0.5)P(X \gt k - 0.5)
P(X<k)P(X \lt k)P(X<k−0.5)P(X \lt k - 0.5)
P(X>k)P(X \gt k)P(X>k+0.5)P(X \gt k + 0.5)
Cuando nn es grande y pp no es extremo, la binomial B(n,p)B(n,p) se puede aproximar por una normal N(μ,σ)N(\mu, \sigma) con μ=np\mu = np y σ=np(1−p)\sigma = \sqrt{np(1-p)}. Como la binomial es discreta y la normal es continua, se aplica la corrección por continuidad de Yates, que consiste en ampliar 0.5 el intervalo por cada lado antes de tipificar.

Criterio de aplicación: n⋅p≥5n \cdot p \geq 5 y n⋅(1−p)≥5n \cdot (1-p) \geq 5.

Ejemplo de aproximación paso a paso

Fórmula:
Z=X−μσ=X−npnp(1−p)Z = \frac{X - \mu}{\sigma} = \frac{X - np}{\sqrt{np(1-p)}}

Ejemplo:

Ejemplo: X∼B(100,0.4)X \sim B(100, 0.4). Calcular P(X≤35)P(X \leq 35).

1. Comprobar criterio: np=40≥5np = 40 \geq 5 y n(1−p)=60≥5n(1-p) = 60 \geq 5 ✓
2. Parámetros: μ=100⋅0.4=40\mu = 100 \cdot 0.4 = 40, σ=100⋅0.4⋅0.6=24≈4.90\quad \sigma = \sqrt{100 \cdot 0.4 \cdot 0.6} = \sqrt{24} \approx 4.90
3. Corrección de Yates (X≤k→X<k+0.5X \leq k \to X \lt k + 0.5): P(X≤35)≈P(X<35.5)P(X \leq 35) \approx P(X \lt 35.5)
4. Tipificar: z=35.5−404.90≈−0.92z = \dfrac{35.5 - 40}{4.90} \approx -0.92
5. Tabla (simetría): Φ(−0.92)=1−Φ(0.92)=1−0.8212=0.1788\Phi(-0.92) = 1 - \Phi(0.92) = 1 - 0.8212 = \mathbf{0.1788}
Una vez aplicada la corrección de Yates, se tipifica el valor corregido y se usa la tabla de la normal estándar.