PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS

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Definición

Definición de logaritmo

Fórmula:
log⁡ab=c  ⟺  ac=b\log_a b = c \iff a^c = b

Ejemplo:

log⁡28=3  ⟺  23=8\log_2 8 = 3 \iff 2^3 = 8
El logaritmo es el exponente al que hay que elevar la base para obtener el argumento.

Logaritmo de la base

Fórmula:
log⁡aa=1\log_a a = 1

Ejemplo:

log⁡55=1\log_5 5 = 1

Logaritmo de uno

Fórmula:
log⁡a1=0\log_a 1 = 0

Ejemplo:

log⁡71=0\log_7 1 = 0

Propiedades operativas

Logaritmo de un producto

Fórmula:
log⁡a(M⋅N)=log⁡aM+log⁡aN\log_a (M \cdot N) = \log_a M + \log_a N

Ejemplo:

log⁡2(4⋅8)=log⁡24+log⁡28=2+3=5\log_2 (4 \cdot 8) = \log_2 4 + \log_2 8 = 2 + 3 = 5

Logaritmo de un cociente

Fórmula:
log⁡a(M/N)=log⁡aM−log⁡aN\log_a (M / N) = \log_a M - \log_a N

Ejemplo:

log⁡2(16/4)=log⁡216−log⁡24=4−2=2\log_2 (16 / 4) = \log_2 16 - \log_2 4 = 4 - 2 = 2

Logaritmo de una potencia

Fórmula:
log⁡a(Mn)=n⋅log⁡aM\log_a (M^n) = n \cdot \log_a M

Ejemplo:

log⁡3(94)=4⋅log⁡39=4⋅2=8\log_3 (9^4) = 4 \cdot \log_3 9 = 4 \cdot 2 = 8

Propiedades avanzadas

Logaritmo de una raíz

Fórmula:
log⁡aMn=1nlog⁡aM\log_a \sqrt[n]{M} = \frac{1}{n} \log_a M

Ejemplo:

log⁡283=13log⁡28=13⋅3=1\log_2 \sqrt[3]{8} = \frac{1}{3} \log_2 8 = \frac{1}{3} \cdot 3 = 1

Cambio de base

Fórmula:
log⁡aM=log⁡bMlog⁡ba\log_a M = \frac{\log_b M}{\log_b a}

Ejemplo:

log⁡416=log⁡216log⁡24=42=2\log_4 16 = \frac{\log_2 16}{\log_2 4} = \frac{4}{2} = 2