MATRICES

Una matriz es una tabla rectangular de números ordenados en filas (líneas horizontales) y columnas (líneas verticales), encerrados entre paréntesis. Las matrices se nombran con letras mayúsculas ($A$, $B$, $C$...) y sus elementos con la misma letra en minúscula.

La dimensión (u orden) de una matriz indica cuántas filas y cuántas columnas tiene. Se escribe $m \times n$ (se lee «$m$ por $n$»): primero siempre las filas y después las columnas.

Cada número de la matriz se llama elemento y se nombra con dos subíndices: $a_{ij}$. El primer subíndice $i$ indica la fila y el segundo $j$ indica la columna en la que está. Para localizarlo: bajamos hasta la fila $i$ y avanzamos hasta la columna $j$.

Matriz fila: tiene una sola fila ($1 \times n$).
Matriz columna: tiene una sola columna ($m \times 1$).
Matriz cuadrada: tiene el mismo número de filas que de columnas ($n \times n$); se dice que es de orden $n$.
Matriz nula: todos sus elementos son 0; se representa por $O$.

En una matriz cuadrada, la diagonal principal está formada por los elementos cuya fila y columna coinciden: $a_{11}, a_{22}, a_{33}, \dots$ Va desde la esquina superior izquierda hasta la inferior derecha.

Dos matrices son iguales si tienen la misma dimensión y los elementos que ocupan la misma posición son iguales. Esto permite plantear ecuaciones igualando elemento a elemento.

La traspuesta de $A$, que se escribe $A^t$, es la matriz que se obtiene al cambiar filas por columnas: la fila 1 pasa a ser la columna 1, la fila 2 pasa a ser la columna 2, etc. Si $A$ es de dimensión $m \times n$, su traspuesta es de dimensión $n \times m$.

Fíjate en la última: al trasponer un producto, se invierte el orden de los factores.

La matriz identidad $I_n$ es una matriz cuadrada de orden $n$ con unos en la diagonal principal y ceros en el resto de posiciones. Es el «1» de las matrices: al multiplicar cualquier matriz por la identidad (con dimensiones compatibles) la matriz no cambia (ver Producto de matrices).

Solo se pueden sumar o restar matrices que tengan la misma dimensión (mismo número de filas y mismo número de columnas).

Se suman (o restan) los elementos que ocupan la misma posición. El resultado tiene la misma dimensión que las matrices de partida.

Conmutativa: $A + B = B + A$
Asociativa: $(A + B) + C = A + (B + C)$
Elemento neutro: la matriz nula, $A + O = A$
Elemento opuesto: $-A$ (se cambia el signo de todos los elementos), $A + (-A) = O$

Para multiplicar un número $k$ (escalar) por una matriz, se multiplica cada elemento de la matriz por ese número. La dimensión no cambia.

Primero se multiplican los escalares y después se suman o restan las matrices resultantes.

Dos matrices $A$ y $B$ se pueden multiplicar (en ese orden, $A \cdot B$) solo si el número de columnas de $A$ es igual al número de filas de $B$. Truco: escribe las dimensiones una al lado de la otra; las de dentro deben coincidir y las de fuera dan la dimensión del resultado.

El elemento $c_{ij}$ del resultado (fila $i$, columna $j$) es el producto escalar de la fila $i$ de $A$ por la columna $j$ de $B$: se multiplica el primer elemento de la fila por el primero de la columna, el segundo por el segundo, etc., y se suman todos esos productos. Por eso las columnas de $A$ tienen que coincidir con las filas de $B$: si no, sobrarían o faltarían números al emparejarlos.

En general, $A \cdot B \neq B \cdot A$. El orden importa: a veces uno de los dos productos ni siquiera se puede hacer, y aunque se puedan hacer los dos, el resultado suele ser distinto.

Solo para matrices cuadradas: $A^2 = A \cdot A$, $A^3 = A^2 \cdot A$, etc. Ojo: $A^2$ no se obtiene elevando cada elemento al cuadrado.

Asociativa: $(A \cdot B) \cdot C = A \cdot (B \cdot C)$
Distributiva: $A \cdot (B + C) = A \cdot B + A \cdot C$
Elemento neutro: $A \cdot I = I \cdot A = A$
No conmutativa: en general $A \cdot B \neq B \cdot A$

Una fila es combinación lineal de otras si se puede obtener sumando múltiplos de ellas; en ese caso no aporta información nueva. Las filas que no son combinación lineal de las demás son linealmente independientes.

El rango de una matriz, $\text{rg}(A)$, es el número de filas linealmente independientes (coincide con el número de columnas linealmente independientes). Por eso nunca puede superar el número de filas ni el de columnas.

El método de Gauss transforma la matriz usando estas operaciones, que no cambian el rango:
1. Intercambiar dos filas: $F_1 \leftrightarrow F_2$
2. Multiplicar una fila por un número distinto de 0: $F_2 \rightarrow 3F_2$
3. Sumar a una fila un múltiplo de otra: $F_2 \rightarrow F_2 - 2F_1$

El objetivo es conseguir una matriz escalonada: cada fila empieza con más ceros que la anterior.
1. Toma como pivote el primer elemento de la fila 1 (si es 0, intercambia filas).
2. Haz ceros debajo de él con operaciones del tipo $F_i \rightarrow F_i - k \cdot F_1$.
3. Repite con la fila 2 (haz ceros debajo del segundo elemento), luego con la fila 3, etc.
4. El rango es el número de filas que no son todo ceros.

La inversa de una matriz cuadrada $A$ es otra matriz, $A^{-1}$, que multiplicada por $A$ da la identidad. Hace el papel de «dividir» en las matrices, que no tienen división.

No todas las matrices tienen inversa. Una matriz cuadrada de orden $n$ tiene inversa (es regular o invertible) solo si su rango es $n$. Si no tiene inversa se llama singular.

Escribimos la inversa con incógnitas, $A^{-1} = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$, imponemos que $A \cdot A^{-1} = I$ e igualamos elemento a elemento. Obtenemos dos sistemas de ecuaciones sencillos.

Si alguno de los sistemas es incompatible (no tiene solución), la matriz no tiene inversa.

1. Escribimos la matriz ampliada $(A \mid I)$: la matriz $A$ a la izquierda y la identidad a la derecha.
2. Con operaciones elementales por filas (aplicadas a toda la fila, ambos lados), hacemos ceros debajo de la diagonal (como en Gauss).
3. Después hacemos ceros encima de la diagonal, empezando por la última columna.
4. Dividimos cada fila por su elemento de la diagonal para que queden unos.
5. Cuando a la izquierda queda $I$, a la derecha tenemos $A^{-1}$.
Si en algún momento aparece una fila de ceros en la parte izquierda, la matriz no tiene inversa.

Igual que con la traspuesta, la inversa de un producto invierte el orden de los factores.

Se despeja $X$ como en una ecuación normal, pero no se puede dividir entre matrices: en su lugar se multiplica por la inversa. Como el producto no es conmutativo, hay que multiplicar por el mismo lado en el que está la matriz que queremos quitar:
• Si $A$ está a la izquierda de $X$, multiplicamos por $A^{-1}$ por la izquierda.
• Si $A$ está a la derecha de $X$, multiplicamos por $A^{-1}$ por la derecha.

Si la matriz $A$ no tuviera inversa, también se puede plantear $X = \begin{pmatrix} x & y \\ z & t \end{pmatrix}$, multiplicar e igualar elemento a elemento, como hicimos en el método del sistema para la inversa.