Fundamentos

Definición de raíz

\sqrt[n]{a} = b \iff b^n = a

Ejemplo:

\sqrt{25} = 5 \iff 5^2 = 25

Propiedades de las raíces

Raíz de un producto

\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}

Ejemplo:

\sqrt{4 \cdot 9} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{9} = 2 \cdot 3 = 6

Raíz de un cociente

\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}

Ejemplo:

\sqrt{\frac{100}{4}} = \frac{\sqrt{100}}{\sqrt{4}} = \frac{10}{2} = 5

Raíz de una potencia

\sqrt[n]{a^m} = (\sqrt[n]{a})^m

Ejemplo:

\sqrt{4^3} = (\sqrt{4})^3 = 2^3 = 8

Raíz de una raíz

\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[m \cdot n]{a}

Ejemplo:

\sqrt[3]{\sqrt{64}} = \sqrt[3 \cdot 2]{64} = \sqrt[6]{64} = 2

Racionalización de raíces

Raíz en el denominador

\frac{a}{\sqrt[n]{b^k}} = \frac{a}{\sqrt[n]{b^k}} \cdot \frac{\sqrt[n]{b^{n-k}}}{\sqrt[n]{b^{n-k}}} = \frac{a \cdot \sqrt[n]{b^{n-k}}}{b}

Ejemplo:

\frac{3}{\sqrt{5}} = \frac{3}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{3\sqrt{5}}{5}

Se multiplica por

\sqrt[n]{b^{n-k}}

para que la suma de exponentes dentro de la raíz dé

n

(

k + (n-k) = n

), y el denominador se reduzca a

b

. Si

k=1

, basta con multiplicar por la propia raíz.

Binomio con raíz en el denominador

\frac{a}{c + \sqrt{d}} = \frac{a}{c + \sqrt{d}} \cdot \frac{c - \sqrt{d}}{c - \sqrt{d}} = \frac{a(c - \sqrt{d})}{c^2 - d}

Ejemplo:

\frac{2}{3 + \sqrt{5}} = \frac{2(3 - \sqrt{5})}{9 - 5} = \frac{2(3 - \sqrt{5})}{4} = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}

Se multiplica por el conjugado del denominador (se cambia el signo central). Al aplicar la suma por diferencia se obtiene una diferencia de cuadrados

(c+\sqrt{d})(c-\sqrt{d}) = c^2 - d

, eliminando la raíz.

Potencias y raíces

Exponente fraccionario

a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}

Ejemplo:

8^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{8^2} = \sqrt[3]{64} = 4

Cualquier raíz puede expresarse como una potencia con exponente racional.